上图Circle Limit III （圆之极限.1959）；下图Smaller and Smaller （越来越小.1956）。画题就点明了极限。

　　■梁进

　　画家中最数学的当数埃舍尔。

　　摩里茨·科奈里斯·埃舍尔（1898-1972），荷兰图形艺术家。他以其源自数学灵感的木刻、版画等作品而闻名。他的作品隐含数学意念和哲学思考却无法归属于任何一家流派。他所创立的风格有点空前绝后的状态，不仅前无古人，几乎也后无来者，却被众多科学家推崇。他的艺术显示了数学之魂、哲理之美。他将数学的匀称、精确、规则、循序、奇幻等抽象特性以不可思议的方法表现在神奇作品中，并将貌似矛盾的异次元空间状态用难以言喻的形式糅合到平面画布上。例如明明是向上的楼梯不知为什么却返回到了楼下，鸟儿在不断变化中不知什么时候变成了鱼儿。他的艺术充满着难以抗拒的魔力，征服着人们的心灵。尽管很长时间以来他的艺术被美术界视为异端，却在科学家们的广泛而深刻的欣赏中在世界范围内确立了不可动摇的地位。

　　埃舍尔的画从数学的眼光来看，大致可分为极限、互耦、变换、易维、奇空等方面。以后我们分别欣赏。这里我们先欣赏他的极限图。

　　极限的思想很早就有，我国古代的庄子在《庄子·天下篇》记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。反映了其朴素的极限思想。极限的概念在数学上的精准刻画是在18世纪随着数学的微积分学科的完善由柯西（1789~1857）和魏尔斯特拉斯（1815~1897）等人严格阐述而完成。它指的是变量在一定的变化过程中，从趋势上来说无法控散或者逐渐稳定的变化过程，前者称为发散，后者称为收敛，其所趋向的值称为极限值。在现代的数学分析中，几乎所有基本概念如连续、微分、积分都是建立在极限理念的基础之上，也就是说极限就是微积分的灵魂。

　　庄子是在一维空间里的棰子上诠释微积分中极限无穷小，而埃舍尔，则是在二维画布上描述极限。他画过很多极限图，附图是典型的两幅。它们分别通过一个圆形和一个方形，用动物的形象（埃舍尔最喜欢画的动物鱼和蜥蜴）越变越小，分别收敛到边缘和中心。因为在二维空间里，极限一般是一个二维空间里的一维曲线，也可能退化到一个点。在左图中极限是圆边周，在右图中极限是中心点。

　　尽管在计算机发达的今天，人们很容易通过程序来画出类似的图形。但想想在埃舍尔的时代，这个过程就是埃舍尔天才的“预见实现”。